Anatoly Kislyakov nasceu em 1961 em Novokuznetsk, na região de Kemerovo. Em 1980 ele se formou na Escola de Coral de Moscou, hoje AV Sveshnikov. No mesmo ano, ingressou no Conservatório de Moscou na classe de regência coral do Professor Boris Grigorievich Tevlin. Ele combinou seus estudos com o trabalho no coral estudantil.

Depois de se formar no Conservatório e servir nas Forças Armadas do país, trabalhou na República da Bulgária com grupos corais infantis e mistos. Desde 1996, a convite de VS Popov, trabalhou na Academia de Artes Coral como líder de grupos de estudo e concerto, bem como professor de disciplinas especiais de coral.

Em 2000 começou a trabalhar no "Grande Coro Infantil de VGTRK", agora denominado "O Grande Coro Infantil em homenagem a VS Popov". Desde 2006 é diretor artístico e em 2007 obteve o título de “Artista Homenageado da Federação Russa”.

Em 2011, a convite de BG Tevlin, começou a trabalhar como professor assistente na disciplina “Prática de trabalho com coro infantil” no Departamento de Artes Cênicas Corais Modernas do Conservatório de Moscou.