Anatoly Kislyakov est né en 1961 à Novokouznetsk, dans la région de Kemerovo. En 1980, il est diplômé de l'école chorale de Moscou, aujourd'hui nommée A. V. Sveshnikov. La même année, il entre au Conservatoire de Moscou dans la classe de direction chorale du professeur Boris Grigorievich Tevlin. Il a combiné ses études avec le travail dans la chorale étudiante.

Après avoir obtenu son diplôme du Conservatoire et servi dans les forces Armées du pays, il a travaillé en République de Bulgarie avec des groupes de chorales pour enfants et mixtes. Depuis 1996, à l'invitation de V. S. Popov, il a travaillé à l'Académie des arts choraux en tant que chef de groupes d'étude et de concert, ainsi que professeur de disciplines chorales spéciales.

En 2000, il a commencé à travailler dans "Le Grand Chœur d'enfants de VGTRK", maintenant nommé "Le Grand Choeur d'enfants d'après V. S. Popov". Depuis 2006, il est directeur artistique et en 2007, il obtient le titre d'« Artiste Émérite de la Fédération de Russie ».

En 2011, à l'invitation de B. G. Tevlin, il commence à travailler en tant que professeur adjoint dans le sujet « Pratique du travail avec le chœur d'enfants » au département des arts de la scène chorale moderne du Conservatoire de Moscou.