Anatoly Kislyakov nació en 1961 en Novokuznetsk, región de Kemerovo. En 1980 se graduó en la Escuela Coral de Moscú, hoy llamada A.V. Sveshnikov. Ese mismo año ingresó en el Conservatorio de Moscú en la clase de dirección de coro del profesor Boris Grigorievich Tevlin. Combinó sus estudios y el trabajo con el coro de estudiantes.

Tras graduarse en el Conservatorio y servir en las Fuerzas Armadas de su país, trabajó en la República de Bulgaria con grupos de coros infantiles y mixtos. Desde 1996, por invitación de V.S. Popov, trabajó en la Academia de Artes Corales como director de grupos de estudio y concierto, así como profesor de disciplinas corales especiales.

En 2000 comenzó a trabajar en "El Gran Coro infantil de  VGTRK", ahora llamado "El Gran Coro infantil de V.S. Popov". Desde 2006 es el director artístico y en 2007 obtuvo el título de “Artista Emérito de la Federación de Rusia”.

En 2011, por invitación de B.G. Tevlin, comenzó a trabajar como profesor asistente en la asignatura “Práctica del trabajo con el coro infantil” en el Departamento de Artes Escénicas Corales Modernas del Conservatorio de Moscú.